1. Soweit ich weiss, ja.
2. Nein, normalerweise nicht (ist mir zumindest bisher noch nicht passiert, dass ich Krankheitstage nacharbeiten musste...)
3. "Aus privaten Gründen" passt eigentlich immer. Das kann ja vieles sein... Und ein schlechtes Zeugnis darf dir der dann Ex-Chef gar nicht schreiben. Objektiv und wohlwollend sollte es sein. Außerdem hast du bestenfalls schon eine Anschluss-Stelle bis du das Zeugnis in der Hand hältst.
Mein Vorgehen wäre (und war): Neue Stelle suchen, Zusage erhalten, DANN kündigen.